Traducerea numerelor de la un sistem numeric la altul este parte importantă aritmetica masinii. Luați în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 2 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile lui 2

n (grad)

Exemplu.

2. Pentru a traduce un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile lui 8

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric zecimal.

3. Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz de puteri de 16:

Tabelul 6. Puterile lui 16

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când există un rest mai mic sau egal cu 1. Un număr în sistemul binar este scris ca o succesiune ultimul rezultatîmpărțirea și resturile de împărțire în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem de numere binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistem octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr în sistemul octal este scris ca o succesiune de cifre a ultimului rezultat al împărțirii și restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistem hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când există un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr din sistemul hexazecimal se scrie ca o secvență de cifre a ultimului rezultat al împărțirii iar restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în hexazecimal.

4.1. Folosind regula de numărare, notați primele 20 de numere întregi în zecimal, binar, ternar, quinar și octal.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.2. Ce numere întregi urmează numerelor:

a) 1 2 ;	f) 18;	n) F16;
b) 1012;	g) 78;	m) 1F 16;
c) 1112;	h) 378;	m) FF16;
d) 11112;	i) 1778;	o) 9AF9 16;
e) 1010112;	j) 77778;	n) CDEF 16 ?

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.3. Care numere întregi sunt înaintea numerelor:

a) 10 2 ;	f) 108;	l) 10 16;
b) 10102;	g) 208;	m) 20 16;
c) 10002;	h) 1008;	m) 100 16;
d) 100002;	i) 1108;	o) A1016;
e) 101002;	j) 10008;	p) 1000 16 ?

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.4. Care este sfârșitul unui număr binar par? Ce cifră se termină cu un număr binar impar? Ce cifre se pot termina într-un număr ternar par?
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.5. Care este cel mai mare număr zecimal care poate fi scris cu trei cifre:

• • a) în sistem binar;
  • b) în sistemul octal;
  • c) în sistem hexazecimal?

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.6. În ce sistem numeric este 21 + 24 = 100?

Soluţie. Fie x baza dorită a sistemului numeric. Atunci 100 x = 1 x 2 + 0 x 1 + 0 x 0 , 21 x = 2 x 1 + 1 x 0 , 24 x = 2 x 1 + 4 x 0 . Astfel, x 2 \u003d 2x + 2x + 5 sau x 2 - 4x - 5 \u003d 0. Rădăcina pozitivă a acestei ecuații pătratice este x \u003d 5.
Răspuns. Numerele sunt scrise în sistemul de numere chinari.

4.7. În ce sistem numeric este adevărată următoarea?

• • a) 20 + 25 = 100;
  • b) 22 + 44 = 110?

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.8. Numărul zecimal 59 este echivalent cu numărul 214 în alt sistem numeric. Găsiți baza acestui sistem.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.9. Convertiți numerele în zecimale, apoi verificați rezultatele conversia înapoi:

a) 10110112;	e) 5178;	k) 1F 16;
b) 101101112;	g) 10108;	m) ABC 16;
c) 0111000012;	h) 12348;	m) 1010 16;
d) 0,10001102;	i) 0,348;	o) 0.A4 16;
e) 110100,112;	j) 123,418;	o) 1DE,C8 16 .

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.10. Convertiți numerele din zecimal în binar, octal și hexazecimal, apoi verificați rezultatele conversia înapoi:

a) 125 10; b) 229 10; c) 88 10; d) 37,25 10; e) 206.125 10 .
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.11. Convertiți numerele din binar în octal și hexazecimal, apoi verificați rezultatele făcând traducerile inverse:

a) 1001111110111,0111 2;	d) 1011110011100,112;
b) 1110101011.1011101 2;	e) 10111,11111011112;
c) 10111001,101100111 2;	f) 1100010101.11001 2 .

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.12. Convertiți numerele hexazecimale în sisteme binare și octale:

a) 2CE 16; b) 9F40 16; c) ABCDE 16; d) 1010,101 16; e) 1ABC,9D 16 .
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.13. Scrieți numere întregi:

• • a) de la 101101 2 la 110000 2 în sistemul binar;
  • b) de la 202 3 la 1000 3 în sistemul ternar;
  • c) de la 14 8 la 20 8 în sistemul octal;
  • d) de la 28 16 la 30 16 în sistem hexazecimal.

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.14. Pentru numerele zecimale 47 și 79, efectuați un lanț de traduceri de la un sistem numeric la altul:

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.15. Realizați tabele pentru adăugarea numerelor cu o singură cifră în sistemele de numere ternare și quinare.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.16. Realizați tabele de înmulțire a numerelor cu o singură cifră în sistemele de numere ternare și chinare.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.17. Adunați numerele și apoi verificați rezultatele făcând adunările zecimale corespunzătoare:

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.18. Ce sisteme numerice sunt folosite pentru următoarele adunări? Găsiți bazele fiecărui sistem:

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.19. Găsiți acele substituții de cifre zecimale cu literele care fac ca rezultatele să fie scrise corect (diferitele numere sunt înlocuite cu diferite litere):

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.20. Scădea:

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.21. Înmulțiți numerele și apoi verificați rezultatele făcând înmulțirile zecimale corespunzătoare:

a) 101101 2 şi 101 2 ;	e) 37 8 şi 4 8 ​​;
b) 111101 2 şi 11,01 2;	f) 168 şi 78;
c) 1011,112 şi 101,12;	g) 7,58 şi 1,68;
d) 101 2 şi 1111.001 2;	h) 6,25 8 și 7,12 8 .

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.22. Împărțiți 10010110 2 la 1010 2 și verificați rezultatul înmulțind divizorul cu câtul.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.23. Împărțiți 10011010100 2 la 1100 2 și apoi faceți împărțirea zecimală și octală corespunzătoare.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.24. Calculați valorile expresiilor:

• • a) 256 8 + 10110,1 2 * (60 8 + 12 10) - 1F 16;
  • b) 1AD 16 - 100101100 2: 1010 2 + 217 8;
  • c) 1010 10 + (106 16 - 11011101 2) 12 8;
  • d) 1011 2 * 1100 2: 14 8 + (100000 2 - 40 8).

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.25. Aranjați următoarele numere în ordine crescătoare:

• • a) 74 8 , 110010 2 , 70 10 , 38 16 ;
  • b) 6E 16 , 142 8 , 1101001 2 , 100 10 ;
  • c) 777 8 , 101111111 2 , 2FF 16 , 500 10 ;
  • d) 100 10 , 1100000 2 , 60 16 , 141 8 .

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.26. Scrieți o serie descrescătoare de numere +3, +2, ..., -3 în format pe un singur octet:

• • a) în cod direct;
  • b) în cod invers;
  • c) într-un cod suplimentar.

(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.27. Scrieți numerele în cod direct (format 1 octet):

a) 31; b) -63; c) 65; d) -128.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.28. Scrieți numerele invers și coduri suplimentare(format 1 octet):

a) -9; b) -15; c) -127; d) -128.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.29. Găsiți reprezentările zecimale ale numerelor scrise în complement a doi:

a) 1 1111000; b) 1 0011011; c) 1 1101001; d) 1.0000.000.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.30. Găsiți reprezentări zecimale ale numerelor scrise în cod invers:

a) 1 1101000; b) 1 0011111; c) 1 0101011; d) 1.0000.000.
(Răspunsuri la sfârșitul documentului)

4.31. Scădeți numerele adunând codurile lor inverse (complementare) în format de 1 octet. Indicați în ce cazuri are loc depășirea grilei de biți:

a) 9 - 2;	d) -20 - 10;	g) -120 - 15;
b) 2 - 9;	e) 50 - 25;	h) -126 - 1;
c) -5 - 7;	f) 127 - 1;	i) -127 - 1.

Răspunsuri

4.1. în) ternar: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; G) quinar: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.

4.2. dar) 10 2 ; b) 110 2 ; în) 1000 2 ; G) 10000 2 ; e) 101100 2 ; e) 2 8 ; g) 10 8 ; h) 40 8 ; Și) 200 8 ; la) 10000 8 ; l) 10 16 ; m) 20 16 ; m) 100 16 ; despre) 9AFA 16; P) CDF0 16 .

4.3. dar) 1 2 ; b) 1001 2 ; în) 111 2 ; G) 1111 2 ; e) 10011 2 ; e) 7 8 ; g) 17 8 ; h) 77 8 ; Și) 107 8 ; la) 777 8 ; l) F16; m) 1F16; m) FF16; despre) A0F16; P) FFF 16 .

4.4. Un număr binar par se termină cu 0, un număr binar impar se termină cu 1, iar un număr ternar par se termină cu 0, 1 sau 2.

4.5. dar) 7; b) 511; în) 4091.

4.7. dar)în niciunul; b)în hexazecimal.

4.8. Fundația 5.

4.9. dar) 91; b) 183; în) 225; G) 35 / 64 ; e) 52,75; e) 335; g) 520; h) 668; Și) 7 / 16 ; la) 83 33 / 64 ; l) 31; m) 2748; m) 4112; despre) 41 / 64 ; P) 478 25 / 32 .

4.10. dar) 1111101 2; 1758; 7D 16; b) 11100101 2; 3458; E5 16 ; în) 1011000 2 ; 130 8 ; 58 16 ; G) 100101,01 2 ; 45,2 8 ; 25,4 16 ; e) 11001110.001 2; 316,18; CE,2 16 .

4.11. dar) 11767,34 8; 13F7,7 16; b) 1653,5648; 3AB,BA 16; în) 271,5478; B9,B3816; G) 13634,68; 179C, C16; e) 27,76748; 17, FBC 16; e) 1425,628; 315,C816.

4.12. dar) 1011001110 2 ; 1316 8 ; b) 1001111101000000 2 ; 117500 8 ; în) 10101011110011011110 2 ; 2536336 8 ; G) 1000000010000,000100000001 2 ; 10020,0401 8 ; e) 1101010111100,10011101 2 ; 15274,472 8 .

4.13. dar) 101101 2 , 101110 2 , 101111 2 , 110000 2 ; b) 202 3 , 210 3 , 211 3 , 212 3 , 220 3 , 221 3 , 222 3 , 1000 3 ; în) 14 8 , 15 8 , 16 8 , 17 8 , 20 8 ; G) 28 16 , 29 16 , 2A 16 , 2B 16 , 2C 16 , 2D 16 , 2E 16 , 2F 16 , 30 16 ;

4.14. dar) 47 10 - 101111 2 - 57 8 - 47 10 - 57 8 - 101111 2 - 2F 16 - 47 10 - 2F 16 - 101111 2 - 47 10 ; b) 79 10 - 1001111 2 - 117 8 - 79 10 - 117 8 - 1001111 2 - 4F 16 - 79 10 - 4F 16 - 1001111 2 - 79 10 .

					+	0	1	2	3	4
					0	0	1	2	3	4
+	0	1	2		1	1	2	3	4	10
0	0	1	2		2	2	3	4	10	11
1	1	2	10		3	3	4	10	11	12
2	2	10	11		4	4	10	11	12	13

Cu acest calculator online puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul inițial, setați baza sistemului numeric al numărului original, setați baza sistemului numeric la care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Partea teoreticăși exemple numerice vezi mai jos.

Rezultatul a fost deja primit!

Traducerea numerelor întregi și fracționale dintr-un sistem de numere în oricare altul - teorie, exemple și soluții

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de cifre arabe pe care îl folosim Viata de zi cu zi, este pozițional, în timp ce Roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Atunci numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Numărul 10 definește sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Îl numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format dintr-un set de cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din un set de cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul binar - dintr-un set de cifre (0,1), într-un sistem de numere hexazecimale - dintr-un set de cifre ( 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10, 11,12,13,14,15.În tabelul 1 numerele sunt reprezentate în diferite sisteme numerice.

tabelul 1
Notaţie
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a traduce numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi, din sistemul numeric zecimal, să îl traduceți în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- la 15.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să traduceți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a numărului este translată din SS zecimal într-un alt sistem de numere - prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - cu 2, pentru SS cu 8 cifre - cu 8, pentru 16 cifre - cu 16 etc.) pentru a obține un rest întreg, mai mic decât baza SS.

Exemplu 4 . Să traducem numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

După cum se poate observa din Fig. 1, numărul 159, când este împărțit la 2, dă câtul 79, iar restul este 1. În plus, numărul 79, când este împărțit la 2, dă câtul 39 și restul este 1 și așa mai departe. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare, putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic de 8. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga) obțineți un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare, putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să traducem numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, am obținut resturile 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 - D. Prin urmare, numărul nostru hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti zecimale corecte (număr real cu zero întreaga parte) într-un sistem numeric cu baza s, acest număr trebuie înmulțit succesiv cu s până când partea fracțională este un zero pur, sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

După cum se poate vedea din Fig.4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă, atunci când este înmulțit, se obține un număr cu o parte întreagă zero, atunci zero este scris în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când se obține un zero pur în partea fracțională sau se obține numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos, obținem numărul necesar în sistemul binar: 0. 0011011 .

Prin urmare, putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să traducem numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă s-a obținut 0. Prin urmare, s-a obținut următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele C și B corespund numerelor 12 și 11. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să traducem numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să traducem numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să traducem numărul 19673.214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem.