Regulile de comparare a fracțiilor obișnuite depind de tipul fracției (fracție proprie, improprie, mixtă) și de semnificația (aceeași sau diferită) a fracțiilor comparate.

Această secțiune discută opțiunile pentru compararea fracțiilor care au același numărător sau numitor.

Regulă. Pentru a compara două fracții cu aceiași numitori, trebuie să comparați numărătorii lor. Mai mult (mai mic) este fracția al cărei numărător este mai mare (mai mic).

De exemplu, comparați fracții:

Regulă. Pentru a compara fracții adecvate cu aceiași numărători, trebuie să comparați numitorii lor. Mai mult (mai puțin) este fracția al cărei numitor este mai mic (mai mare).

De exemplu, comparați fracții:

Compararea fracțiilor proprii, improprii și mixte între ele

Regulă. Fracțiile improprie și mixte sunt întotdeauna mai mari decât orice fracție proprie.

O fracție proprie este, prin definiție, mai mică decât 1, așa că fracțiile improprie și mixte (care au un număr egal sau mai mare de 1) sunt mai mari decât o fracție proprie.

Regulă. Dintre cele două fracții mixte, cea cu întreaga parte fracții mai mari (mai puține). Când părțile întregi ale fracțiilor mixte sunt egale, fracția cu partea fracțională mai mare (mai mică) este mai mare (mai mică).

Comparați două fracții- înseamnă a determina care dintre fracții este mai mare, care este mai mică sau a stabili că fracțiile sunt egale.

Compararea fracțiilor cu aceiași numitori

Dintre două fracții cu același numitor, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare.

Exemplu. O fracție este mai mare decât o fracție, deoarece părțile din ambele fracții sunt aceleași, dar prima fracție are mai multe decât a doua.

Dacă reprezentăm unitatea ca un segment și o împărțim în 8 părți, atunci este ușor de observat că fracția este mai mare:

Compararea fracțiilor cu același numărător

Dintre două fracții cu același numărător, fracția cu numitorul mai mic este mai mare.

Exemplu. O fracție este mai mare decât o fracție, deoarece numărul de acțiuni din ambele fracții este același, dar cotele din prima fracție sunt mai mari decât din a doua.

Să desenăm două unități sub formă de cercuri, o împărțim în 4 părți, a doua în 6 părți. Acum puteți vedea că fracția este mai mare:

Compararea fracțiilor cu numitori și numărători diferiți

Pentru a compara fracții care au numărători și numitori diferiți, trebuie să le aduceți la un numitor comun. După aceea, ele sunt comparate conform regulii de comparare a fracțiilor care au aceiași numitori.

Exemplu. Comparați fracții: și .

Decizie:

Acum le comparăm după regula de comparare a fracțiilor care au aceiași numitori. Din moment ce înseamnă .

Iată o altă modalitate de a compara fracții cu numitori și numărători diferiți. Luați în considerare mai întâi un exemplu numeric.

Exemplu. Comparați fracțiile și .

Decizie:

Aducem aceste fracții la un numitor comun:

Hotărând exemplu dat se poate observa că, după reducerea fracțiilor la un numitor comun, problema comparației s-a redus de fapt la compararea produselor 2 7 și 4 3. Deoarece 2 7 = 14 și 4 3 = 12, atunci 2 7 > 4 3 . , .

Acum să rezolvăm aceeași problemă în vedere generala folosind notația alfabetică.

Exemplu. Să fie date fracții și, unde Ași c- zero sau numere naturale, bși d- numere întregi. Să aducem fracțiile la un numitor comun:

Prin urmare:

Astfel, am obținut următoarea regulă pentru compararea fracțiilor obișnuite:

Pentru a compara două fracții obișnuite, puteți înmulți numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte și puteți compara produsele rezultate.

Această regulă se numește regula încrucișată pentru compararea fracțiilor.

Compararea unei fracții cu un număr natural

Orice fracție proprie este mai mică decât orice număr natural.

Exemplu.

Compararea unei fracții improprie cu un număr natural se reduce la compararea a două fracții.

Pentru a compara o fracție improprie cu un număr natural, trebuie să reprezentați numărul natural ca o fracție improprie cu un numitor de 1, apoi pot fi comparate în unul din două moduri: folosind regula încrucișării sau reduceți fracțiile la un comun numitor. După aceea, ele sunt comparate conform regulii de comparare a fracțiilor care au aceiași numitori.

Obiectivele lecției:

1. Tutoriale:învață cum să compari fracții diferite feluri folosind diverse metode;
2. În curs de dezvoltare: dezvoltarea metodelor de bază ale activității mentale, generalizări ale comparației, evidențierea principalului lucru; dezvoltarea memoriei, a vorbirii.
3. Educational:Învățați să vă ascultați unul pe celălalt, să promovați asistența reciprocă, o cultură a comunicării și a comportamentului.

Pașii lecției:

1. Organizatoric.

Să începem lecția cu cuvintele scriitorului francez A. Franța: „Învățarea poate fi distractivă... Pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu poftă”.

Să urmăm acest sfat, să încercăm să fim atenți, să absorbim cunoștințele cu mare dorință, pentru că. ne vor fi de folos în viitor.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

1.) Lucrări orale frontale ale elevilor.

Scop: pentru a repeta materialul acoperit, care este necesar atunci când învățați unul nou:

A) fracții regulate și improprii;
B) aducerea fracțiilor la un nou numitor;
C) găsirea celui mai mic numitor comun;

(Se lucrează la fișiere. Elevii le au la dispoziție la fiecare lecție. Răspunsurile sunt scrise pe ele cu un marker, iar apoi informațiile inutile sunt șterse.)

Sarcini pentru lucru oral.

1. Numiți o fracție suplimentară din lanț:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Aduceți fracțiile la un nou numitor 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Aflați cel mai mic numitor comun al fracțiilor:

1/5 si 2/7; 3/4 și 1/6; 2/9 și 1/2.

2.) Situație de joc.

Băieți, clovnul nostru cunoscut (elevii l-au cunoscut la începutul anului școlar) m-au rugat să-l ajut să rezolve problema. Dar cred că voi îl puteți ajuta pe prietenul nostru fără mine. Și următoarea sarcină.

„Comparați fracții:

a) 1/2 și 1/6;
b) 3/5 și 1/3;
c) 5/6 și 1/6;
d) 12/7 și 4/7;
e) 3 1/7 și 3 1/5;
f) 7 5/6 și 3 1/2;
g) 1/10 și 1;
h) 10/3 și 1;
i) 7/7 și 1.”

Băieți, pentru a-l ajuta pe clovn, ce ar trebui să învățăm?

Scopul lecției, sarcini (elevii formulează independent).

Profesorul îi ajută punând întrebări:

a) pe care dintre perechile de fracții le putem compara deja?

b) de ce instrument avem nevoie pentru a compara fracții?

3. Băieți în grupuri (în permanent multinivel).

Fiecare grup are o sarcină și instrucțiuni pentru implementarea acesteia.

Primul grup : Comparați fracțiile mixte:

a) 1 1/2 și 2 5/6;
b) 3 1/2 și 3 4/5

și deduceți o regulă pentru echivalarea fracțiilor mixte cu părți întregi aceleași și diferite.

Instrucțiune: Compararea fracțiilor mixte (folosind un fascicul numeric)

1. comparați părțile întregi ale fracțiilor și trageți o concluzie;
2. comparați părți fracționale (nu afișați regula pentru compararea părților fracționale);
3. face o regulă - algoritm:

A doua grupă: Comparați fracții cu numitori diferiți și numărători diferiți. (folosiți fascicul de numere)

a) 6/7 și 9/14;
b) 5/11 și 1/22

Instruire

1. Comparați numitorii
2. Gândiți-vă dacă este posibil să reduceți fracțiile la un numitor comun
3. Începeți regula cu cuvintele: „Pentru a compara fracții cu numitori diferiți, trebuie să...”

A treia grupă: Comparația fracțiilor cu una.

a) 2/3 și 1;
b) 8/7 și 1;
c) 10/10 și 1 și formulează o regulă.

Instruire

Luați în considerare toate cazurile: (utilizați raza numerică)

a) Dacă numărătorul unei fracții este egal cu numitorul, ………;
b) Dacă numărătorul unei fracții este mai mic decât numitorul,………;
c) Dacă numărătorul unei fracții este mai mare decât numitorul,………. .

Formulați o regulă.

Al patrulea grup: Compara fracții:

a) 5/8 și 3/8;
b) 1/7 și 4/7 și formulați o regulă pentru compararea fracțiilor cu același numitor.

Instruire

Utilizați fasciculul numeric.

Comparați numărătorii și trageți o concluzie, începând cu cuvintele: „Din două fracții cu aceiași numitori……”.

A cincea grupă: Comparați fracții:

a) 1/6 și 1/3;
b) 4/9 și 4/3 folosind linia numerică:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formulați o regulă pentru compararea fracțiilor cu aceiași numărători.

Instruire

Comparați numitorii și trageți o concluzie, începând cu cuvintele:

„Din două fracții cu aceiași numărători………..”.

A șasea grupă: Comparați fracții:

a) 4/3 și 5/6; b) 7/2 și 1/2 folosind linia numerică

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formulați o regulă pentru compararea fracțiilor proprii și improprii.

Instruire.

Gândiți-vă care fracție este întotdeauna mai mare, corectă sau greșită.

4. Discutarea concluziilor făcute în grup.

Cuvânt pentru fiecare grup. Formularea regulilor elevilor și compararea acestora cu standardele regulilor corespunzătoare. În continuare, fiecărei elevi i se oferă imprimări ale regulilor pentru compararea diferitelor tipuri de fracții ordinare.

5. Revenim la sarcina stabilită la începutul lecției. (Rezolvăm împreună problema clovnilor).

6. Lucrează în caiete. Folosind regulile de comparare a fracțiilor, elevii, sub îndrumarea unui profesor, compară fracții:

a) 8/13 și 8/25;
b) 11/42 și 3/42;
c) 7/5 și 1/5;
d) 18/21 și 7/3;
e) 2 1/2 si 3 1/5;
f) 5 1/2 și 5 4/3;

(este posibil să invitați un student la consiliu).

7. Elevii sunt invitați să efectueze un test de comparare a fracțiilor pentru două opțiuni.

1 opțiune.

1) comparați fracții: 1/8 și 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Care este mai mare: 5/13 sau 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) sunt egale

3) Care este mai mic: 2/3 sau 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) sunt egale

4) Care dintre fracții este mai mică de 1: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Care dintre fracții este mai mare decât 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Comparați fracții: 2 1/5 și 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Opțiunea 2.

1) comparați fracții: 3/5 și 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Care este mai mare: 10/12 sau 1/12?

a) sunt egali;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Care este mai mic: 3/5 sau 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) sunt egale

4) Care dintre fracții este mai mică decât 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Care dintre fracții este mai mare decât 1: 2/5; 9/8; 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Comparați fracții: 3 1/4 și 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Răspunsuri la test:

Opțiunea 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Opțiunea 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Încă o dată revenim la scopul lecției.

Verificăm regulile de comparație și dăm o temă diferențiată:

1,2,3 grupuri - veniți cu două exemple pentru fiecare regulă și rezolvați-le.

4,5,6 grupe - Nr. 83 a, b, c, Nr. 84 a, b, c (din manual).

Fracțiile sunt de obicei comparate pentru a afla care este mai mare și care este mai mică. Pentru a compara fracțiile, trebuie să le aduceți la același numitor, atunci fracția cu un numărător mare este mare, iar cu unul mai mic, este mai mică. Cea mai grea parte este să descoperi cum să faci ca fracțiile să aibă același numitor, dar nu este atât de greu pe cât pare. Vă vom arăta cum să faceți totul. Citește mai departe!

Pași

1. Aflați dacă numitorii fracțiilor sunt sau nu la fel. Numitorul este numărul de sub linia fracției, în partea de jos, iar numărătorul este în partea de sus. De exemplu, fracțiile 5/7 și 9/13 nu au același numitor. Trebuie să le aduceți la același numitor.

   • Dacă numitorii fracțiilor sunt aceiași, atunci tot ce trebuie să faci este să compari numărătorii pentru a afla care fracție este mai mare.

2. Găsiți un numitor comun. Pentru a compara fracțiile, trebuie mai întâi să găsiți un numitor comun. Acest lucru este necesar pentru comparație, precum și pentru efectuarea de operații matematice cu fracții, adunări, scăderi și așa mai departe. În cazul adunării sau scăderii, este necesar să se caute cel mai mic numitor comun. Cu toate acestea, în acest caz (comparație de fracții), puteți doar înmulți numitorii ambelor fracții, iar numărul rezultat va fi un numitor comun. Amintiți-vă, acest mod de a găsi numitorul comun funcționează DOAR la compararea fracțiilor (nu adunarea, scăderea etc.)

   • 7 x 13 = 91, noul numitor comun va fi 91.

3. Schimbați numărătorii fracțiilor. Odată ce găsiți numitorul comun, în acest caz 91, va trebui să schimbați numărătorii astfel încât valoarea fracției să rămână aceeași. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți numărătorii unei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul celei de-a doua cu numitorul primei. Ca aceasta:

   • În fracția inițială 5/7, am înmulțit 7 cu 13 și am obținut 91, acum trebuie să înmulțim 5 cu 13 pentru a obține un nou numărător. 5/7 x 13/13 = 65/91.
   • În 9/13 înmulțim 13 cu 7 pentru a obține un nou numitor de 91, acum înmulțim 9 cu 7 pentru a obține un nou numărător. 9 x 7 = 63, deci noua noastră fracție arată ca 63/91.

La rezolvarea ecuațiilor și inegalităților, precum și a problemelor cu module, este necesară localizarea rădăcinilor găsite pe dreapta reală.

După cum știți, rădăcinile găsite pot fi diferite. Ele pot fi așa:, sau pot fi așa:,.

În consecință, dacă numerele nu sunt raționale, ci iraționale (dacă ați uitat ce este, uitați-vă în subiect) sau sunt expresii matematice complexe, atunci plasarea lor pe linia numerică este foarte problematică.

Mai mult, calculatoarele nu pot fi folosite la examen, iar un calcul aproximativ nu oferă garanții 100% că un număr este mai mic decât altul (ce se întâmplă dacă există o diferență între numerele comparate?).

Desigur, știți că numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât cele negative și că, dacă reprezentăm o axă a numerelor, atunci când sunt comparate, cele mai mari numere vor fi la dreapta decât cele mai mici: ; ; etc.

Dar este întotdeauna atât de ușor?

Unde pe linia numerică marcam .

Cum să le comparăm, de exemplu, cu un număr? Acolo este problema...)

În acest articol, vom găsi o privire asupra tuturor modalităților de a compara numere, astfel încât aceasta să nu fie o problemă pentru tine la examen!

Pentru început, să vorbim în termeni generali despre cum și ce să comparăm.

Important: este de dorit să se facă transformări în așa fel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în cursul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este interzis pătrat dacă una dintre părți este negativă.

Comparația fracțiunilor

Deci, trebuie să comparăm două fracții: și.

Există mai multe opțiuni pentru a face acest lucru.

Opțiunea 1. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Să o scriem ca o fracție obișnuită:

- (după cum vedeți, am redus și la numărător și numitor).

Acum trebuie să comparăm fracțiile:

Acum putem continua să comparăm și în două moduri. Noi putem:

1. reduceți totul la un numitor comun, prezentând ambele fracții ca improprii (numărătorul este mai mare decât numitorul):

   Care număr este mai mare? Așa e, cel al cărui numărător este mai mare, adică primul.

2. „aruncă” (presupunem că am scăzut câte una din fiecare fracție și, respectiv, raportul dintre fracții nu s-a schimbat) și vom compara fracțiile:

   De asemenea, le aducem la un numitor comun:

   Am obținut exact același rezultat ca în cazul precedent - primul număr este mai mare decât al doilea:

   Să verificăm și dacă am scăzut corect unul? Să calculăm diferența numărătorului din primul calcul și al doilea:
   1)
   2)

Deci, ne-am uitat la cum să comparăm fracțiile, aducându-le la un numitor comun. Să trecem la o altă metodă - compararea fracțiilor aducându-le la un numărător... comun.

Opțiunea 2. Compararea fracțiilor prin reducerea la un numărător comun.

Da Da. Aceasta nu este o greșeală de tipar. La școală, această metodă este rareori predată cuiva, dar de foarte multe ori este foarte convenabilă. Pentru a înțelege rapid esența sa, vă voi pune o singură întrebare - „în ce cazuri este valoarea fracției cea mai mare?” Desigur, vei spune „când numărătorul este cât mai mare, iar numitorul este cât se poate de mic”.

De exemplu, cu siguranță vei spune că Adevărat? Și dacă trebuie să comparăm astfel de fracții: Cred că și dumneavoastră veți pune imediat semnul corect, pentru că în primul caz sunt împărțite în părți, iar în al doilea în întregi, ceea ce înseamnă că în al doilea caz piesele sunt foarte mici și, în consecință: . După cum puteți vedea, numitorii sunt diferiți aici, dar numărătorii sunt aceiași. Cu toate acestea, pentru a compara aceste două fracții, nu trebuie să găsiți un numitor comun. Deși... găsește-l și vezi dacă semnul de comparație este încă greșit?

Dar semnul este același.

Să revenim la sarcina noastră inițială - să comparăm și. Vom compara și Aducem aceste fracții nu la un numitor comun, ci la un numărător comun. Pentru asta e simplu numărător și numitorînmulțiți prima fracție cu. Primim:

și. Care fracție este mai mare? Așa este, primul.

Opțiunea 3. Compararea fracțiilor folosind scăderea.

Cum se compară fracțiile folosind scăderea? Da, foarte simplu. Scădem altul dintr-o fracție. Dacă rezultatul este pozitiv, atunci prima fracție (redusă) este mai mare decât a doua (scăzută), iar dacă este negativă, atunci invers.

În cazul nostru, să încercăm să scădem prima fracție din a doua: .

După cum ați înțeles deja, traducem și într-o fracție obișnuită și obținem același rezultat -. Expresia noastră devine:

Mai mult, mai trebuie să recurgem la reducerea la un numitor comun. Întrebarea este cum: în primul mod, conversia fracțiilor în unele improprii, sau în al doilea, ca și cum ar fi „eliminarea” unității? Apropo, această acțiune are o justificare complet matematică. Uite:

Îmi place mai mult a doua opțiune, deoarece înmulțirea la numărător la reducerea la un numitor comun devine de multe ori mai ușoară.

Aducem la un numitor comun:

Principalul lucru aici este să nu ne confuzi cu privire la ce număr și de unde am scăzut. Priviți cu atenție cursul soluției și nu confundați accidental semnele. Am scăzut primul din al doilea număr și am primit un răspuns negativ, deci? .. Așa e, primul număr este mai mare decât al doilea.

Am înțeles? Încercați să comparați fracții:

Opreste opreste. Nu vă grăbiți să aduceți la un numitor comun sau să scădeți. Uite: poate fi ușor convertit într-o fracție zecimală. Cât va fi? Dreapta. Ce ajunge să fie mai mult?

Aceasta este o altă opțiune - compararea fracțiilor prin reducerea la o zecimală.

Opțiunea 4. Compararea fracțiilor folosind diviziunea.

Da Da. Și așa este și posibil. Logica este simplă: când împărțim Mai mult la un numar mai mic, in raspuns obtinem un numar mai mare decat unu, iar daca impartim un numar mai mic la unul mai mare, atunci raspunsul cade pe intervalul de la la.

Pentru a reține această regulă, luați pentru comparație oricare două numere prime, de exemplu, și. Știi ce e mai mult? Acum să împărțim la. Răspunsul nostru este. Prin urmare, teoria este corectă. Dacă împărțim la, ceea ce obținem este mai puțin de unu, ceea ce, la rândul său, confirmă ceea ce este de fapt mai puțin.

Să încercăm să aplicăm această regulă asupra fracțiilor obișnuite. Comparaţie:

Împărțiți prima fracție la a doua:

Să scurtăm din când în când.

Rezultatul este mai mic, deci dividendul este mai mic decât divizorul, adică:

Am analizat toate opțiunile posibile pentru compararea fracțiilor. După cum puteți vedea, sunt 5 dintre ele:

• reducerea la un numitor comun;
• reducerea la un numărător comun;
• reducerea la forma unei fracții zecimale;
• scădere;
• Divizia.

Gata de antrenament? Comparați fracțiile în cel mai bun mod:

Să comparăm răspunsurile:

1. (- converti la zecimală)
2. (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor)
3. (selectați întreaga parte și comparați fracțiile conform principiului aceluiași numărător)
4. (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor).

2. Compararea gradelor

Acum imaginați-vă că trebuie să comparăm nu doar numere, ci și expresii în care există un grad ().

Desigur, puteți pune cu ușurință un semn:

La urma urmei, dacă înlocuim gradul cu înmulțire, obținem:

Din acest exemplu mic și primitiv, regula urmează:

Acum încercați să comparați următoarele: . De asemenea, puteți pune cu ușurință un semn:

Pentru că dacă înlocuim exponentiația cu înmulțirea...

În general, înțelegi totul și nu este deloc dificil.

Dificultățile apar doar atunci când, în comparație, gradele au baze și indicatori diferiți. În acest caz, este necesar să încercați să aduceți la o bază comună. De exemplu:

Desigur, știți că aceasta, în consecință, expresia ia forma:

Să deschidem parantezele și să comparăm ce se întâmplă:

niste un caz special când baza gradului () este mai mică de unu.

Dacă, atunci de două grade sau mai mult, cel al cărui indicator este mai mic.

Să încercăm să demonstrăm această regulă. Lasa.

Introducem un număr natural ca diferență între și.

Logic, nu-i așa?

Acum să fim atenți la condiția - .

Respectiv: . Prin urmare, .

De exemplu:

După cum înțelegeți, am luat în considerare cazul când bazele puterilor sunt egale. Acum să vedem când baza este în intervalul de la până la, dar exponenții sunt egali. Totul este foarte simplu aici.

Să ne amintim cum să comparăm asta cu un exemplu:

Desigur, ai calculat rapid:

Prin urmare, atunci când întâlniți probleme similare pentru comparație, țineți cont de un exemplu simplu similar pe care îl puteți calcula rapid și, pe baza acestui exemplu, puneți semne într-unul mai complex.

Când efectuați transformări, amintiți-vă că dacă înmulțiți, adunați, scădeți sau împărțiți, atunci toate acțiunile trebuie făcute atât în ​​stânga, cât și în partea de jos. partea dreapta(dacă înmulțiți cu, atunci trebuie să le înmulțiți pe amândouă).

În plus, există momente când efectuarea oricăror manipulări este pur și simplu neprofitabilă. De exemplu, trebuie să comparați. În acest caz, nu este atât de dificil să ridici la o putere și să aranjezi semnul pe baza acestui lucru:

Sa exersam. Comparați grade:

Ești gata să compari răspunsurile? Iată ce am primit:

1. - la fel ca
2. - la fel ca
3. - la fel ca
4. - la fel ca

3. Compararea numerelor cu rădăcină

Să începem cu ce sunt rădăcinile? Îți amintești această intrare?

Rădăcina unui număr real este un număr pentru care este valabilă egalitatea.

Rădăcini grade impar există pentru numere negative și pozitive și chiar și rădăcini- Numai pentru pozitiv.

Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcul exact, deci este important să poți compara rădăcinile.

Dacă ai uitat ce este și cu ce se mănâncă -. Dacă vă amintiți totul, să învățăm să comparăm rădăcinile pas cu pas.

Să presupunem că trebuie să comparăm:

Pentru a compara aceste două rădăcini, nu trebuie să faceți niciun calcul, doar să analizați conceptul de „rădăcină”. Ai despre ce vorbesc? Da, despre asta: altfel se poate scrie ca a treia putere a unui număr, egală cu expresia rădăcină.

Ce mai mult? sau? Acest lucru, desigur, puteți compara fără nicio dificultate. Cu cât este mai mare numărul pe care îl ridicăm la o putere, cu atât valoarea va fi mai mare.

Asa de. Să luăm regula.

Dacă exponenții rădăcinilor sunt aceiași (în cazul nostru, acesta este), atunci este necesar să comparăm expresiile rădăcinii (și) - cu cât numărul rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii cu indicatori egali este mai mare.

Greu de reținut? Atunci ține doar un exemplu în minte și. Asta mai mult?

Exponenții rădăcinilor sunt aceiași, deoarece rădăcina este pătrată. Expresia rădăcină a unui număr () este mai mare decât a altuia (), ceea ce înseamnă că regula este cu adevărat adevărată.

Dar dacă expresiile radicale sunt aceleași, dar gradele rădăcinilor sunt diferite? De exemplu: .

De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini de grad mai mare se va obține un număr mai mic. Să luăm de exemplu:

Notați valoarea primei rădăcini ca și a doua - ca, apoi:

Puteți vedea cu ușurință că ar trebui să existe mai multe în aceste ecuații, prin urmare:

Dacă expresiile rădăcină sunt aceleași(în cazul nostru), iar exponenții rădăcinilor sunt diferiți(în cazul nostru, acesta este și), atunci este necesar să se compare exponenții(și) - cu cât exponentul este mai mare, cu atât expresia dată este mai mică.

Încercați să comparați următoarele rădăcini:

Să comparăm rezultatele?

Ne-am ocupat cu succes de asta :). Apare o altă întrebare: ce se întâmplă dacă toți suntem diferiți? Și gradul și expresia radicală? Nu totul este atât de dificil, trebuie doar să... „scăpăm” de rădăcină. Da Da. Scapă de el.)

Dacă avem grade și expresii radicale diferite, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun (citiți secțiunea despre) pentru exponenții rădăcinii și să ridicăm ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.

Că toți suntem în cuvinte și în cuvinte. Iată un exemplu:

1. Ne uităm la indicatorii rădăcinilor - și. Cel mai mic multiplu comun al acestora este .
2. Să ridicăm ambele expresii la o putere:
3. Să transformăm expresia și să extindem parantezele (mai multe detalii în capitol):
4. Să luăm în considerare ce am făcut și să punem un semn:

4. Compararea logaritmilor

Așa că, încet, dar sigur, am abordat întrebarea cum să comparăm logaritmii. Dacă nu vă amintiți ce fel de animal este acesta, vă sfătuiesc să citiți mai întâi teoria din secțiune. Citit? Apoi răspunde la câteva întrebări importante:

1. Care este argumentul logaritmului și care este baza acestuia?
2. Ce determină dacă o funcție este în creștere sau descreștere?

Dacă vă amintiți totul și l-ați învățat bine - să începem!

Pentru a compara logaritmii între ei, trebuie să știți doar 3 trucuri:

• reducerea la aceeași bază;
• casting la același argument;
• comparație cu al treilea număr.

În primul rând, acordați atenție bazei logaritmului. Vă amintiți că dacă este mai mică, atunci funcția scade, iar dacă este mai mare, atunci crește. Pe asta se vor baza judecățile noastre.

Luați în considerare compararea logaritmilor care au fost deja redusi la aceeași bază sau argument.

Pentru început, să simplificăm problema: lăsați logaritmii comparați temeiuri egale. Apoi:

1. Funcția, când crește pe intervalul de la, înseamnă, prin definiție, atunci („comparație directă”).
2. Exemplu:- bazele sunt aceleași, respectiv, comparăm argumentele: , deci:
3. Funcția, la, scade pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație inversă”). - bazele sunt aceleași, respectiv, comparăm argumentele: , totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”, întrucât funcția scade: .

Acum luați în considerare cazurile în care bazele sunt diferite, dar argumentele sunt aceleași.

1. Baza este mai mare.
   • . În acest caz, folosim „comparație inversă”. De exemplu: - argumentele sunt aceleași, și. Comparăm bazele: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”:
2. Baza a este între ele.
   • . În acest caz, folosim „comparație directă”. De exemplu:
   • . În acest caz, folosim „comparație inversă”. De exemplu:

Să scriem totul într-o formă tabelară generală:

, în care	, în care

În consecință, așa cum ați înțeles deja, atunci când comparăm logaritmi, trebuie să aducem la aceeași bază sau argument, Ajungem la aceeași bază folosind formula pentru a trece de la o bază la alta.

De asemenea, puteți compara logaritmii cu un al treilea număr și, pe baza acestuia, să deduceți ce este mai puțin și ce este mai mult. De exemplu, gândiți-vă cum să comparați acești doi logaritmi?

Un mic indiciu - pentru comparație, logaritmul vă va ajuta foarte mult, al cărui argument va fi egal.

Gând? Să decidem împreună.

Putem compara cu ușurință acești doi logaritmi cu tine:

Nu stii cum? Vezi deasupra. Tocmai l-am demontat. Ce semn va fi acolo? Corect:

Sunt de acord?

Să comparăm unul cu celălalt:

Ar trebui să obțineți următoarele:

Acum combină toate concluziile noastre într-una singură. S-a întâmplat?

5. Compararea expresiilor trigonometrice.

Ce este sinus, cosinus, tangentă, cotangentă? Pentru ce este cercul unității și cum să găsiți valoarea funcțiilor trigonometrice pe el? Dacă nu cunoașteți răspunsurile la aceste întrebări, vă recomand cu căldură să citiți teoria pe această temă. Și dacă știi, atunci compararea expresiilor trigonometrice între ele nu este dificilă pentru tine!

Să ne împrospătăm puțin memoria. Să desenăm un cerc trigonometric unitar și un triunghi înscris în el. Ai reușit? Acum marcați pe ce parte avem cosinusul și pe care sinus, folosind laturile triunghiului. (Desigur, vă amintiți că sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei și cosinusul celei adiacente?). ai desenat? Amenda! Atingerea finală - pune jos unde o vom avea, unde și așa mai departe. Pune jos? Uf) Compară ce sa întâmplat cu mine și cu tine.

Pf! Acum să începem comparația!

Să presupunem că trebuie să comparăm și . Desenați aceste unghiuri folosind indicațiile din casete (unde am marcat unde), așezând punctele pe cercul unității. Ai reușit? Asta am făcut.

Acum să coborâm perpendiculara de la punctele pe care le-am marcat pe cerc până la axă... Care? Care axă arată valoarea sinusurilor? Corect, . Iată ce ar trebui să obțineți:

Privind această cifră, care este mai mare: sau? Desigur, pentru că punctul este deasupra punctului.

În mod similar, comparăm valoarea cosinusurilor. Coborâm doar perpendiculara pe axă... Dreapta, . În consecință, ne uităm la ce punct este la dreapta (bine, sau mai sus, ca în cazul sinusurilor), atunci valoarea este mai mare.

Probabil că știi deja să compari tangente, nu? Tot ce trebuie să știi este ce este tangentă. Deci, ce este tangenta?) Așa este, raportul dintre sinus și cosinus.

Pentru a compara tangentele, desenăm și un unghi, ca în cazul precedent. Să presupunem că trebuie să comparăm:

ai desenat? Acum marchem și valorile sinusului pe axa de coordonate. Remarcat? Și acum indicați valorile cosinusului pe linia de coordonate. S-a întâmplat? Să comparăm:

Acum analizează ce ai scris. - împărțim un segment mare într-unul mic. Răspunsul va fi o valoare care este exact mai mare decât unu. Dreapta?

Și când îl împărțim pe cel mic cu cel mare. Răspunsul va fi un număr care este exact mai mic decât unu.

Deci valoarea carei expresii trigonometrice este mai mare?

Corect:

După cum înțelegeți acum, comparația cotangentelor este aceeași, doar invers: ne uităm la modul în care segmentele care definesc cosinusul și sinusul se relaționează între ele.

Încercați să comparați singur următoarele expresii trigonometrice:

Exemple.

Răspunsuri.

COMPARAȚIA NUMERELOR. NIVEL MIJLOCIU.

Care dintre numere este mai mare: sau? Răspunsul este evident. Și acum: sau? Nu mai este atât de evident, nu? Și așa: sau?

Adesea trebuie să știți care dintre expresiile numerice este mai mare. De exemplu, atunci când rezolvați o inegalitate, puneți punctele pe axă în ordinea corectă.

Acum te voi învăța să compari astfel de numere.

Dacă trebuie să comparați numere și, puneți un semn între ele (derivat din cuvântul latin Versus sau prescurtat vs. - împotriva):. Acest semn înlocuiește semnul de inegalitate necunoscut (). În plus, vom efectua transformări identice până când devine clar care semn ar trebui să fie pus între numere.

Esența comparării numerelor este următoarea: tratăm semnul ca și cum ar fi un fel de semn de inegalitate. Și cu expresia, putem face tot ce facem de obicei cu inegalități:

• adăugați orice număr la ambele părți (și scădem, desigur, putem și)
• „mutați totul într-o direcție”, adică scădeți una dintre expresiile comparate din ambele părți. În locul expresiei scăzute va rămâne: .
• înmulțiți sau împărțiți cu același număr. Dacă acest număr este negativ, semnul inegalității este inversat: .
• Ridicați ambele părți la aceeași putere. Dacă această putere este egală, trebuie să vă asigurați că ambele părți au același semn; dacă ambele părți sunt pozitive, semnul nu se schimbă atunci când este ridicat la o putere, iar dacă sunt negative, atunci se schimbă la opus.
• ia rădăcina de același grad din ambele părți. Dacă extragem rădăcina unui grad par, trebuie mai întâi să vă asigurați că ambele expresii sunt nenegative.
• orice alte transformări echivalente.

Important: este de dorit să se facă transformări în așa fel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în cursul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este imposibil să se pătrate dacă una dintre părți este negativă.

Să ne uităm la câteva situații tipice.

1. Exponentiatie.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Deoarece ambele părți ale inegalității sunt pozitive, putem pătra pentru a scăpa de rădăcina:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Și aici putem pătra, dar asta ne va ajuta doar să scăpăm de rădăcina pătrată. Aici este necesar să se ridice într-un asemenea grad încât ambele rădăcini să dispară. Aceasta înseamnă că exponentul acestui grad trebuie să fie divizibil atât cu (gradul primei rădăcini) cât și cu. Acest număr este, așa că îl ridicăm la a-a putere:

2. Înmulțirea prin conjugat.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Înmulțiți și împărțiți fiecare diferență la suma conjugată:

Evident, numitorul din partea dreaptă este mai mare decât numitorul din stânga. Prin urmare, fracția din dreapta este mai mică decât cea din stânga:

3. Scăderea

Să ne amintim asta.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Bineînțeles, am putea pătra totul, ne regrupăm și din nou. Dar poți face ceva mai inteligent:

Se poate observa că fiecare termen din partea stângă este mai mic decât fiecare termen din partea dreaptă.

În consecință, suma tuturor termenilor din partea stângă este mai mică decât suma tuturor termenilor din partea dreaptă.

Dar fii atent! Am fost întrebați mai multe...

Partea dreaptă este mai mare.

Exemplu.

Comparați numerele și.

Decizie.

Amintiți-vă formulele de trigonometrie:

Să verificăm în ce sferturi punctele și se află pe cercul trigonometric.

4. Diviziune.

Aici folosim și o regulă simplă: .

Cu sau, adică.

Când semnul se schimbă: .

Exemplu.

Faceți o comparație: .

Decizie.

5. Compară numerele cu al treilea număr

Dacă și, atunci (legea tranzitivității).

Exemplu.

Comparaţie.

Decizie.

Să comparăm numerele nu între ele, ci cu numărul.

Este evident că.

Pe de altă parte, .

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Ambele numere sunt mai mari, dar mai mici. Alegeți un număr astfel încât să fie mai mare decât unul, dar mai mic decât celălalt. De exemplu, . Sa verificam:

6. Ce să faci cu logaritmii?

Nimic special. Cum să scapi de logaritmi este descris în detaliu în subiect. Regulile de bază sunt:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

De asemenea, putem adăuga o regulă despre logaritmi cu baze diferite și același argument:

Se poate explica astfel: cu cât baza este mai mare, cu atât va trebui mai puțin ridicată pentru a obține aceeași. Dacă baza este mai mică, atunci este adevărat opusul, deoarece funcția corespunzătoare este monoton în scădere.

Exemplu.

Comparați numerele: i.

Decizie.

Conform regulilor de mai sus:

Și acum formula avansată.

Regula pentru compararea logaritmilor poate fi scrisă și mai scurt:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Decizie.

Exemplu.

Comparați care dintre numere este mai mare: .

Decizie.

COMPARAȚIA NUMERELOR. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Exponentiatie

Dacă ambele părți ale inegalității sunt pozitive, ele pot fi pătrate pentru a scăpa de rădăcină

2. Înmulțirea prin conjugat

Un conjugat este un multiplicator care completează expresia cu formula pentru diferența de pătrate: - conjugat pentru și invers, deoarece .

3. Scăderea

4. Diviziune

La sau asta este

Când semnul se schimbă:

5. Comparație cu al treilea număr

Dacă și atunci

6. Compararea logaritmilor

Reguli fundamentale:

Logaritmi cu baze diferite și același argument:

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student la YouClever,

Pregătește-te pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (cartea de soluții), USE de probă nelimitată și OGE, 6000 de sarcini cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.